• 写在前面
• Control Barrier Function

写在前面

之前的文章中，我们介绍了仿射非线性系统和反馈线性化方法。本文在输入-输出反馈线性化的基础上，关注如何利用系统的输出实现带约束的控制器，以及如何保证存在一个可行的控制器以共同实现多个约束。

首先考虑一个$C^r$（即$r$阶导存在且连续）的时变约束函数$h(t,x)$，若要$h(t,x)\geq 0$成立，需要$h$及其导数满足什么条件。很显然 $h(0)\geq 0$且$\dot h\geq 0$是可行条件之一，但是该条件过于严格，当多个约束存在时，很难保证控制器的可行性。因此我们需要寻找能够使约束集尽可能放松的条件。

注意：可导必连续，连续不一定可导。光滑(smooth)函数即为$C^\infty$函数。连续(continuous)函数即为$C^0$函数。连续可导(continuously differentiable)函数即为$C^1$函数。

Control Barrier Function

为了获得合适的约束条件，我们先假设$h(t,x)$满足如下不等式：

$h^{(r)}+a_1 h^{(r-1)}+\cdots+a_{r-1}\dot h+a_r h\geq 0，$

其中$a_1,\cdots,a_r\in\mathbb R$是一系列实数使得多项式

$p_0^r=\lambda^r+a_1 \lambda^{r-1}+\cdots+a_{r-1}h+a_r$

的根为实数$-\lambda_1,\cdots,-\lambda_r\in\mathbb R$，$\lambda_i>0$，$\forall i=1,\cdots,r$。

我们引入Control Barrier Function的概念，后面简称为CBF。