D.C.函数

凸性的局限在于没有封闭性，也就是说一个凸函数进行简单的运算，比如数乘(scalar mutiplication)和下包络(lower envelop)，得到的新函数不一定具有凸性。于是，d.c.结构(difference of convex functions)，也称互补凸结构(complementary convex structure)，作为一种更广义的数学结构被提出。

定义1：函数$f(x)$在凸集$\Omega \subset \mathbb R^n$上d.c.，若它能表示为$f(x)=f_1(x)-f_2(x)$，其中$f_1$，$f_2$在$\Omega $上是凸函数。

显然，d.c.结构并不能保证$f(x)$的凸性，但却保证了d.c.对线性变换的封闭性，即任意有限多个d.c.函数的线性变换仍是d.c.函数。

因此，$\Omega$上的d.c.函数形成包含$\Omega$上所有凸函数的最小线性空间。该线性空间用$DC(\Omega)$表示，它在有限个函数的上下包络的操作下是稳定的。

D.C.集合

定义2：集合$M\subset \mathbb R^n$是d.c.的，若存在凸函数$g,h:\mathbb R^n\to \mathbb R$使得$M=\{x|g(x)\leq 0,h(x)\geq 0\}$。

推论3.4：任意一个$\mathbb R^n$上的闭集都是一个$\mathbb R^{n+1}$上的d.c.集合向$\mathbb R^n$上的投影。