• 写在前面
• 预备基础
  • 分层拉普拉斯矩阵
  • 有向图下的仿射队形
• 有向图下的仿射可操控条件
• leader和follower分层控制律

写在前面

原论文标题：Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A Fully Distributed Approach Over Directed Graphs

本文为近期阅读的论文(Dong 2020)^[1]的笔记。该论文研究欧拉-拉格朗日系统(以下称EL系统)有向图拓扑下的分布式仿射编队控制。论文重点集中于两处：其一，有向图下的仿射可操控条件；其二，leader和follower分层控制律。

预备基础

这里默认读者都看过Lin 2016^[2]和Zhao 2018^[3]，这两篇论文是以下内容的基础，证明不再给出，请自行参阅原论文。由于不同论文所用标志符号不同，本文所用标志符号统一与前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)一致。

分层拉普拉斯矩阵

定义1：nominal formation $(\mathcal G,r)$称为仿射可操控(affine maneuverable)，当且仅当对任意$q=[q_l^T,q_f^T]^T\in\mathcal A(r)\in\mathbb R^{Nd}$，$q_f$可以被$q_l$唯一表示，即

$q_f=-((L_{f1}^s)^{-1}L_{f2}^s\otimes I_d)q_l。$

注意：这里的“仿射可操控”其实就是Zhao 2018的“仿射可定位”，整合了Zhao的一部分相关结论。

上面定义中用到的拉普拉斯矩阵在论文中也有重新定义，为分层拉普拉斯矩阵(Layered Laplacian matrix)，即

$L^\dagger=\begin{bmatrix}0&0_{N_l}^T&0_{N_f}^T\\ L_{l2}&L_{l1}&0_{N_l\times N_f}\\ 0_{N_f}&L_{f2}^s&L_{f1}^s\end{bmatrix}，$

其中$L_{l1}\in\mathbb R^{N_l\times N_l}$表示leader之间的拓扑，$L_{l2}\in\mathbb R^{N_l\times 1}$，表示leader与虚拟agent的拓扑，$L_{f1}^s\in\mathbb R^{N_f\times N_f}$表示follower之间的拓扑，$L_{f2}^s\in\mathbb R^{N_f\times N_l}$表示leader和follower之间的拓扑。

综上所述，分层拉普拉斯矩阵表示分层的拓扑结构，第一层是普通拉普拉斯矩阵

$L=\begin{bmatrix}0&0_{N_l}\\ L_{l2}&L_{l1}\end{bmatrix}\in\mathbb R^{(N_l+1)\times (N_l+1)}，$

第二层是带符号拉普拉斯矩阵

$L^s=\begin{bmatrix}0^{N_l\times N_l}&0^{N_l\times N_f}\\ L_{f2}^s &L_{f1}^s\end{bmatrix}\in\mathbb R^{(N_l+N_f)\times(N_l+N_f)}。$

整个控制过程的逻辑结构是，一个虚拟agent 0(如：人的输入)控制多个leader，再由leader控制follower。为了完成这个控制过程，需要以下假设和引理。

令所有agent的label为$0,1,\cdots,N_l,\cdots,N_l+N_f$。前$N_l+1$个组成图$\mathcal G_l$。

假设4：对于第一层的$N_l(N_l\geq d+1)$个leader，图$\mathcal G_l$中存在一个有向生成树，其中root为agent 0。

引理1：对于第一层，如果图$\mathcal G_l$中存在一个有向生成树，那么下列声明成立：

1. $L_{l1}$非奇异；
2. 所有$L_{l1}$的特征根有正实部；
3. $-L_{l1}^{-1}L_{l2}$的每一个元素非负，每一行和为1。

证明：前两条证明见Meng 2013^[4]的Lemma 2.1，第三条证明见Meng 2010^[5]的Lemma 4。$L_{l1}$是一个non-singular M-matrix，满足inverse-positive，即$L_{l1}^{-1}$ exists and $L_{l1}^{-1}\geq 0$ element-wisely^[6]。而$L_{l2}$的每一个元素非正，因为agent 0只可能是leader的in-neighbor。因此$-L_{l1}^{-1}L_{l2}$的每一个元素非负。注意到$\begin{bmatrix}L_{l2} &L_{l1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1_{N_l}\end{bmatrix}=0$。因此，$L_{l2}=-L_{l1}1_{N_l}$，即$-L_{l1}^{-1}L_{l2}=1_{N_l}$行和为1(全1列向量)。

有向图下的仿射队形

以下定义和假设出自Zhao 2018，详见前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)。

定义configuration matrix $P(q)$和augmented matrix $\bar P(q)$。

假设5：nominal configuration $r$ is generic.

以下定义和引理出自Lin 2016：

若有向图$\mathcal G=(\mathcal V,\mathcal E)$中存在边$(j,i)\in\mathcal E$，方向为$j \to i$，那么$j$是$i$的in-neighbor，$i$是$j$的out-neighbor。

定义2.1：对于有向图$\mathcal G$，如果去掉除节点$v\in\mathcal V$外的任意$k-1$个节点，仍然存在一条路径(path)从某一节点$u\in\mathcal U$到节点$v$，那么节点$v$被称为$k$-reachable from 非单元素(non-singleton)集合$\mathcal U$。

从上面的定义中，我们可以得知：

• $\mathcal U$的元素必定大于等于$k$个，才能保证去掉$k-1$个节点后$\mathcal U\neq \empty$；
• 从集合$\mathcal U$到节点$v$至少有$k$条互不相交(disjoint)的路径。

定义2.2：有向图$\mathcal G$是$k$-rooted，如果存在包含$k$个节点的子集，称为根(root)集，从根集出发所有其他节点都$k$-reachable。

定义2.3：对于有向图$\mathcal G=(\mathcal V,\mathcal E)$，一个根集为$\mathcal R=\{r_1,\cdots,r_k\}\subset \mathcal V$的$k$-生成树(spanning $k$-tree)是一个生成子图(spanning subgraph)$\mathcal T=(\mathcal V,\bar {\mathcal E})$，其满足：

1. 每一个节点$r\in\mathcal R$都没有in-neighbor；
2. 每一个节点$v\notin\mathcal R$都有$k$个in-neighbor；
3. 每一个节点$v\notin\mathcal R$都$k$-reachable from $\mathcal R$。

从上面的定义中，我们可以得知：

• 有向图$\mathcal G$如果有$k$-生成树，那么一定$k$-rooted；
• 如果节点$k$-reachable，那么必然有$k$个in-neighbor。

引理2 (Lemma 2.1, Lin 2016)：图$\mathcal G$有一个$k$-生成树，当且仅当图$\mathcal G$是$k$-rooted。

只需证明必要性。令根集为$\mathcal R$，并移除所有incoming edge，其他节点仍然$k$-reachable。再移除其他节点的多余incoming edge，只留下$k$个保证$k$-reachable。通过上述两步得到$k$-生成树，利用了$k$-路径的互不相交性。

引理3 (Lemma 4.1, Lin 2016)：对于有向图$\mathcal G$，如果它是$k$-rooted，那么相关的$L^s$满足：

1. 去掉与根节点相关的$k$行和$k$列所得子矩阵的主子式(principal minor)不为0；
2. 去掉与根节点相关的$k$行和任意的$k$列所得子矩阵是非奇异的。

回顾一下，余子式(minor)$[A]_{i,j}$是原矩阵$A$去掉第$i$行和第$j$列后的子矩阵的行列式，如果$i=j$，则为主子式^[7]。

参考Lin 2016，定义仿射队形可实现(realizable)为：$(L^s\otimes I_d)q=0$当且仅当$q\in\mathcal A(r)$。

引理4 (Theorem 4.1, Lin 2016)：假如有向图$\mathcal G$有$N\geq d+2$个节点，且$r$是generic。那么仿射队形可实现当且仅当$\mathcal G$是$(d+1)$-rooted。

有向图下的仿射可操控条件

定理1：在假设5条件下，nominal formation $(\mathcal G,r)$仿射可操控，当且仅当leader集合$\mathcal V_l$有至少$d+1$个节点，同时集合$V_f$中的每一个follower都$(d+1)$-reachable from集合$V_l$。

证明：(充分性) 满足条件的$\mathcal G$是$(d+1)$-rooted，所以有$k$-生成树，仿射队形可实现。再加上$L_{f1}^s$的非奇异性，队形可被唯一确定，即仿射可操控。(必要性) 如果仿射可操控，必然存在$L^s$使得仿射队形可实现，故$\mathcal G$是$(d+1)$-rooted满足条件。

假设6：集合$V_f$中的每一个follower都$(d+1)$-reachable from集合$V_l$。

leader和follower分层控制律

问题1：给定初始队形$\mathcal G(q(0))$和nominal configuration matrix $P(r)$，为每一个agent设计基于邻居相对位置和速度的控制律$\tau_i(t)$，使得$q_l\to -(L_{l1}^{-1}L_{l2}\otimes I_d)q_0+p$，且$q_f\to-((L_{f1}^s)^{-1}L_{f2}^s\otimes I_d)q_l$误差有界，其中$p=[p_1^T,\cdots,p_{N_l}^T]^T$，$p_i$为相对于nominal formation的位移。

可以看出，$-(L_{l1}^{-1}L_{l2}\otimes I_d)q_0$实现consensus，即所有leader收敛于$q_0$，再加上$p$即为相对$q_0$的位移。

论文对两层都用了自适应NN控制律(adaptive NN-based control law)，误差有限时间收敛到原点的一个邻域，即practical finite-time stability^[8]。

注意：这里的practical是针对EL系统的模型不确定性来说的，如果模型完全确定，那么是可以有限时间收敛到原点的。

至于自适应NN控制律如何设计，我在这里挖个坑，之后的文章里结合Wang 2009^[9]讲。